Seminár 5: Algebraické výrazy, rovnice a nerovnosti II – nerovnosti

Roznásobením a ďalšími ekvivalentnými úpravami dostaneme \[\begin{aligned} ab + b^2 c + a^2 c + abc^2 &\geq abc^2 + 2abc + ab,\\ b^2 c + a^2 c &\geq 2abc,\\ (a - b)^2 c &\geq 0.\end{aligned}\] Podľa zadania platí \(c \geq 0\) a druhá mocnina reálneho čísla \(a-b\) je tiež nezáporná, takže je nezáporná aj ľavá strana upravenej nerovnosti. Rovnosť v tejto (a rovnako aj v pôvodnej nerovnosti) nastane práve vtedy, keď \(a - b = 0\) alebo \(c = 0\), teda práve vtedy, keď je splnená aspoň jedna z podmienok \(a = b\), \(c = 0\).

Komentár

Úloha demonštruje jeden zo základných spôsobov dokazovania nerovností: úpravu výrazu na jednej strane nerovnosti na tvar, o ktorom s určitosťou vieme, že je nezáporný/nekladný a jeho porovnanie s nulou. Taktiež si študenti precvičia ekvivalentné úpravy nerovností a úpravy výrazov do tvaru súčinu.

a) Prevedieme výraz \(2xyz\) na pravú stranu nerovnosti a upravíme pomocou vzorca \(A^2-2AB-B^2=(A-B)^2\) na tvar \(0 \leq (x - yz)^2\), ktorý je pravdivým výrokom, keďže druhá mocnina ľubovoľného výrazu je vždy nezáporná.
b) Výraz z pravej strany nerovnosti prevedieme na opačnú stranu a upravíme nasledujúcim spôsobom: \[\begin{aligned} ((x-y)(x+y))^2-4xy(x-y)^2 &\geq 0,\\ (x-y)^2(x+y)^2-4xy(x-y)^2 &\geq 0,\\ (x-y)^2((x+y)^2-4xy) &\geq 0,\\ (x-y)^2(x+2xy+y^2-4xy) &\geq 0,\\ (x-y)^4 &\geq 0.\end{aligned}\] Posledná nerovnosť je zrejme pravdivým tvrdením a pôvodná nerovnosť je tak dokázaná.

Komentár

Úloha neprináša žiadny nový princíp, je však dobrým tréningom práce s upravovaním výrazov, podobne ako úloha nasledujúca.

Nerovnosť zo zadania ekvivalentne upravíme. Vynásobíme celú nerovnosť kladným výrazom \(a^2b^2\). Ľavú stranu \(a^3+b^3\) upravíme na súčin pomocou vzorca \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), pravú stranu \(ab^2+a^2b\) upravíme na súčin vyňatím výrazu \(ab\) na tvar \(ab(a+b)\). Dostaneme tak nerovnosť \((a+b)(a^2-ab+b^2)\geq ab(a+b)\). Tá po vydelení kladným výrazom \(a + b\) a úprave na súčin dostane tvar \((a - b)^2\geq 0\), ktorý je zrejme pravdivým tvrdením.

Komentár

Úloha využíva rovnaký princíp ako prechádzajúce dve. Prvýkrát však pri úprave využívame násobenie a delenie výrazmi. Tým sa z úlohy stáva dobrá príležitosť na pripomenutie faktu, že pri úprave nerovností musíme brať do úvahy (ne)zápornosť výrazov, ktoré pri takýchto úkonoch využívame.

Komentár

Ďalším z užitočných nástrojov pri dokazovaní nerovností je znalosť nerovnosti \(u+\frac{1}{u}\geq 2\) pre každé kladné reálne číslo \(u\), pričom táto nerovnosť prechádza v rovnosť len pre \(u=1\). Dokázanie tohto faktu nie je zložité: vynásobením celej nerovnosti \(u\), prevedením všetkých členov na jednu stranu dostávame \((u-1)^2\geq 0\), čo je pravdivé tvrdenie. Nasledujúce úlohy sú zaradené ako tréning uplatnenia tejto nerovnosti.

Celú nerovnosť vynásobíme kladným výrazom \((a+b)(c+d)\) a použitím ekvivalentných úprav upravíme nasledovne. \[\begin{aligned} \frac{(a+b)(c+d)}{ab}+ \frac{(a+b)(c+d)}{cd} & \geq 8, \\ \frac{ac+ad+bc+bd}{ab}+\frac{ac+ad+bc+bd}{cd} & \geq 8, \\ \frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{a}{d}+\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{b}{c} & \geq 8.\end{aligned}\] Všimneme si, že ľavá strana obsahuje štyri páry súčtov navzájom obrátených zlomkov: \[\bigg(\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \bigg)+\bigg(\frac{a}{d}+\frac{d}{a} \bigg)+\bigg(\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \bigg)+\bigg(\frac{b}{d}+\frac{d}{b} \bigg)\geq 8.\] Sčítaním štyroch nerovností v tvare \(u+\frac{1}{u}\geq 2\), ktoré platia pre každé kladné reálne \(u\), kde v našom prípade je \(u\) postupne \(\frac{a}{c}\), \(\frac{a}{d}\), \(\frac{b}{c}\), \(\frac{b}{d}\) potom dostaneme tvrdenie, ktoré sme chceli dokázať.

Úpravou dvojčlena \(a^2 - a\) doplnením na štvorec a využitím faktu že druhá mocnina reálneho čísla je nezáporná ukážeme, že menovateľ zlomku v nerovnosti je kladný: \[a^2-a+1=\bigg(a^2-a+\frac{1}{4}\bigg) +\frac{3}{4}=\bigg(a-\frac{1}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0.\] Ak ním teda obe strany dokazovanej nerovnosti vynásobíme, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť \[a^2(a^2-a+1)+1\geq (a+1)(a^2-a+1).\] Po roznásobení a zlúčení rovnakých mocnín a dôjdeme k nerovnosti \[a^4-2a^3+a^2\geq 0,\] ktorá však platí, pretože jej ľavá strana má rozklad \(a^2 (a - 1)^2\) s nezápornými činiteľmi \(a^2\) a \((a - 1)^2\). Tým je pôvodná nerovnosť pre každé reálne číslo a dokázaná. Zároveň sme zistili, že rovnosť vo výslednej, a teda aj v pôvodnej nerovnosti nastane práve vtedy, keď platí \(a^2 (a - 1)^2 = 0\), teda jedine vtedy, keď \(a = 0\) alebo \(a = 1\).

Iné riešenie*. Danú nerovnosť môžeme prepísať na tvar \[(a^2 - a + 1) + \frac{1}{a^2-a+1}\geq 2 \ \ \ \ \text{čiže} \ \ \ \ u~+\frac{1}{u}\geq 2,\] pričom \(u = a^2 -a + 1\). Využitím faktu, že posledná nerovnosť platí pre každé kladné reálne číslo \(u\) a že prechádza v rovnosť jedine pre \(u = 1\).

Na dôkaz pôvodnej nerovnosti ostáva už len overiť, že výraz \(u = a^2 - a + 1\) je kladný pre každé reálne číslo \(a\). To možno spraviť rovnako ako v prvom riešení, alebo prepísať nerovnosť \(a^2 - a + 1 > 0\) na tvar \[a(a -1) > -1\] a uskutočniť krátku diskusiu: Posledná nerovnosť platí ako pre každé \(a \geq 1\), tak pre každé \(a\leq 0\), lebo v oboch prípadoch máme dokonca \(a(a - 1) \geq 0\); pre zvyšné hodnoty \(a\), teda pre \(a \in (0, 1)\), je súčin \(a(a - 1)\) síce záporný, avšak určite väčší ako \(-1\), pretože oba činitele \(a\), \(a - 1\) majú absolútnu hodnotu menšiu ako 1. Prepísaná nerovnosť je tak dokázaná pre každé reálne číslo \(a\), a tým je podmienka pre použitie nerovnosti \(u + \frac{1}{u} \geq 2\) pre \(u = a^2 + a + 1\) overená.

Ako sme už uviedli, rovnosť \(u + \frac{1}{u} = 2\) nastane jedine pre \(u = 1\). Pre rovnosť v nerovnosti zo zadania úlohy tak dostávame podmienku \(a^2 -a+1 = 1\), čiže \(a(a-1)= 0\), čo je splnené iba pre \(a = 0\) a pre \(a = 1\).

Komentár

Úloha využíva spojenie viacerých poznatkov – faktu, že druhá mocnina akéhokoľvek reálneho čísla je nezáporná, úpravu na štvorec, ekvivalentné úpravy nerovností a tiež známu nerovnosť \(u+\frac{1}{u} \geq 2\) pre každé kladné reálne \(u\). Je síce náročnejšia ako úlohy, ktorými sme sa doteraz zaoberali, ale považujeme ju za vhodnú ilustráciu toho, ako nám rozšírený arzenál metód pomôže v úspešnom zvládnutí zložitejších problémov. Úloha tiež demonštruje, že k správnemu riešeniu častokrát vedú viaceré cesty.

Pravá nerovnosť je ekvivalentná s nerovnosťou \[4(a^2 + 3ab + b^2 ) \leq 5(a + b)^2,\] ktorú možno ekvivalentne upraviť na nerovnosť \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0\). Tá je splnená vždy a rovnosť v nej nastane práve vtedy, keď \(a = b\).

Z ľavej nerovnosti odstránime zlomky a umocníme ju na druhú, \[\begin{aligned} 25ab(a^2 + 2ab + b^2) &\leq 4(a^4 + 9a^2 b^2 + b^4 + 6a^3 b + 6ab^3 + 2a^2 b^2),\\ 25ab(a^2 + b^2 ) + 50a^2 b^2 &\leq 4a^4 + 4b^4 + 44a^2 b^2 + 24ab(a^2 + b^2 ),\end{aligned}\] takže po úprave dostaneme ekvivalentnú nerovnosť \[4a^4 + 4b^4 - 6a^2 b^2 \geq ab(a^2 + b^2 ).\] Po odčítaní výrazu \(2a^2 b^2\) od oboch strán nerovnosti sa nám podarí na oboch stranách použiť úpravu na štvorec. Dostaneme tak (opäť ekvivalentnú) nerovnosť \[4(a^2 - b^2 )^2 \geq ab(a - b)^2.\] Rozdiel štvorcov v zátvorke na ľavej strane ešte rozložíme na súčin a vzťah upravíme na tvar \(4(a - b)^2 (a + b)^2 \geq ab(a - b)^2\).

Ak \(a = b\), platí rovnosť. Ak \(a \neq b\), môžeme poslednú nerovnosť vydeliť kladným výrazom \((a - b)^2\) a dostaneme tak nerovnosť \(4(a + b)^2 \geq ab\), čiže \(4a^2 + 4b^2 + 7ab \geq 0\). Ľavá strana tejto nerovnosti je vždy kladná, preto vyšetrovaná nerovnosť platí pre všetky kladné čísla \(a, b\), pričom rovnosť v nej nastane práve vtedy, keď \(a = b\).

Komentár

Táto úloha prvýkrát prináša sústavu nerovností a je vhodné so študentmi zopakovať, ako k dokazovaniu sústav nerovností pristupujeme: musíme dokázať riešenie každej nerovnosti zvlášť. V priebehu riešenia opäť využijeme úpravu na štvorec a nezápornosť druhej mocniny reálneho čísla. Úloha sa dá riešiť ešte iným spôsobom, ten si však ukážeme v ďalšom seminári zameranom na nerovnosti.

Danú nerovnosť ekvivalentne upravujme: \[\begin{aligned} (a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1) - (a^2 - 2a + 1)(b^2 - 2b + 1) &\geq 4,\\ \begin{split}(a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1) - (a^2 b^2 - 2ab^2 + b^2 )+ \\+ (2a^2b - 4ab + 2b) - (a^2 - 2a + 1) &\geq 4,\end{split}\\ 2ab(a + b) - 4ab + 2(a + b) &\geq 4,\\ 2(a + b)(ab + 1) &\geq 4(ab + 1),\\ 2(ab + 1)(a + b - 2) &\geq 0.\end{aligned}\] Vzhľadom na predpoklad \(a\geq 1\), \(b \geq 1\) je \(a + b \geq 2\), takže upravená nerovnosť zrejme platí. Rovnosť v nej (a teda aj v zadanej) nerovnosti pritom nastane práve vtedy, keď \(a + b = 2\), čiže \(a = b = 1\).

Iné riešenie*. Pri označení \(m = a^2 +1\) a \(n = b^2 +1\) možno ľavú stranu dokazovanej nerovnosti prepísať na tvar \(L = mn-(m-2a)(n-2b) = 2an+2bm-2ab-2ab,\) z ktorého vynímaním dostaneme \(L = 2a(n - b) + 2b(m - a)\).

Čísla \(a, b\) sú z intervalu \(\langle 1, \infty)\), preto \(1 = m - a^2 \leq m - a\). Odtiaľ \(2b(m - a) \geq 2\). Analogicky dostaneme \(2a(n - b) \geq 2\). Teda \(L \geq 4\) a rovnosť nastáva práve vtedy, keď \(a = b = 1\).

Iné riešenie*. Po substitúcii \(a = 1 + m\) a \(b = 1 + n\), pričom \(m, n \geq 0\), získa ľavá strana nerovnosti tvar \[L = (m^2 + 2m + 2)(n^2 + 2n + 2) - m^2 n^2.\] Po roznásobení, ktoré si stačí iba predstaviť, sa zruší člen \(m^2 n^2\), takže \(L\) bude súčtom nezáporných členov, medzi ktorými bude aj člen \(2 \cdot 2 = 4\). Tým je nerovnosť \(L \geq 4\) dokázaná. A keďže medzi spomenutými členmi budú aj \(4m\) a \(4n\), z rovnosti \(L = 4\) vyplýva \(m = n = 0\), čo naopak rovnosť \(L = 4\) tiež zrejme zaručuje. To znamená, že rovnosť nastáva práve vtedy, keď \(a = b = 1\).

Ľavú nerovnosť dokážeme ekvivalentnými úpravami: \[\begin{aligned} \frac{a+b}{2}&<\frac{2(a^2 + ab + b^2 )}{3(a+b)}, \ \ | \cdot 6(a+b)\\ 3(a+b)^2&<4(a^2+ab+b^2),\\ 0&<(a-b)^2.\end{aligned}\] Posledná nerovnosť vzhľadom na predpoklad \(a\neq b\) platí. Aj pravú nerovnosť zo zadania budeme ekvivalentne upravovať, začneme umocnením každej strany na druhú: \[\begin{aligned} \frac{4(a^2 + ab + b^2 )^2}{9(a + b)^2}&<\frac{a^2 + b^2}{2}, \ \ | \cdot 18(a + b)^2\\ 8(a^2 + ab + b^2 )^2 &< 9(a^2 + b^2 )(a + b)^2,\\ 8(a^4 + b^4 + 2a^3 b + 2ab^3 + 3a^2 b^2 ) &< 9(a^4 + b^4 + 2a^3 b + 2ab^3 + 2a^2 b^2 ),\\ 6a^2 b^2 &< a^4 + b^4 + 2a^3 b + 2ab^3.\end{aligned}\] Posledná nerovnosť je súčtom nerovností \(2a^2 b^2 < a^4 + b^4\) a \(4a^2 b^2 < 2a^3 b + 2ab^3\), ktoré obe platia, lebo po presune členov z ľavých strán na pravé dostaneme po rozklade už zrejmé nerovnosti \(0 < (a^2- b^2)^2\), resp. \(0 < 2ab(a - b)^2\).