Seminár 10: Geometria I – základné poznatky
Ciele
Zopakovať a upevniť základné poznatky z planimetrie, ktoré by študenti mali mať zo základnej školy. Venovať sa vlastnostiam uhlov, trojuholníkov, štvoruholníkov a kružníc. Niektoré z poznatkov odvodiť.
Úvodný komentár
Keďže planimetria častokrát nie je súčasťou osnov 1. ročníka gymnázií, je potrebné poznatky žiakov z tejto oblasti o to starostlivejšie zopakovať. Geometrické úlohy majú veľmi často najhoršiu úspešnosť v krajských kolách MO, čo môže mať viacero dôvodov. Nepopierateľne však študentom tréning pomôže, preto je geometrii v priebehu roka venovaných 8 seminárov.
Zo zmienených dôvodov má preto tento seminár odlišnú štruktúru ako predchádzajúce – viac ako riešeniu úloh z olympiád sa venujeme opakovaniu základných vlastností uhlov, trojuholníkov, štvoruholníkov a kružníc, ktorých znalosti budú nenahraditeľné v ďalších piatich geometrických seminároch. Spolu so študentmi tak vytvoríme základnú výbavu, ktorá im pomôže v boji s geometrickými záludnosťami.
Študenti by mali mať nasledujúce znalosti (voľne spracované podľa (Kubát, Hrubý, and Pilgr 2000)):
uhly
chápať pojmy vrcholové, vedľajšie, súhlasné a striedavé uhly, vedieť nájsť dvojice takých uhlov a používať ich pri riešení úloh,
trojuholníky
poznať základné vlastnosti strán a vnútorných uhlov trojuholníka: trojuholníková nerovnosť, súčet vnútorných uhlov,
vedieť popísať rozdiely medzi ostrouhlým, pravouhlým, tupouhlým, všeobecným, rovnoramenným a rovnostranným trojuholníkom,
chápať pojmy os uhla, os strany, výška, ťažnica, stredná priečka, kružnica vpísaná a opísaná trojuholníku a poznať ich vlastnosti,
poznať a vedieť používať vzorec na výpočet obsahu trojuholníka,
poznať a vhodne používať vety o zhodnosti (\(sss\), \(sus\), \(usu\), \(Ssu\)) a podobnosti (\(sss\), \(sus\), \(uu\), \(Ssu\)) trojuholníkov,
poznať a používať Pytagorovu vetu pre pravouhlý trojuholník,
štvoruholníky
vedieť popísať všeobecný štvoruholník a jeho špecifické prípady: rovnobežník, štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, kosodĺžnik, lichobežník,
poznať základné vzorce pre výpočet obsahu rôznych rovnobežníkov a lichobežníkov,
vedieť, že uhlopriečky v pravouholníku a rovnobežníku sa polia a vedieť tento fakt využiť pri riešení úloh,
kružnice a kruhy
chápať pojmy kružnica, kruh, kružnicový oblúk, dotyčnica, sečnica, tetiva, stredový a obvodový uhol,
poznať a vedieť používať Talesovu kružnicu,
riešenie konštrukčných úloh
náčrt, rozbor, popis konštrukcie, diskusia o počte riešení.
Komentár
Skôr než frontálny výklad je vhodné nechať skladať mozaiku vedomostí študentov. Ak pracujeme s malou skupinou, môžeme o vyššie spomenutých bodoch diskutovať všetci spoločne. Ak seminár navštevuje väčšie množstvo záujemcov o matematiku, rozdelíme študentov na menšie skupiny, pričom každá spracuje poznatky o zadanej neprázdnej podmnožine vyššie spomenutých oblastí. Tie si potom študenti navzájom odprezentujú, vedúci seminára nepresnosti vhodnými otázkami koriguje. Táto časť by mala zabrať približne polovicu, príp. dve tretiny času vyhradeného na seminár.Komentár
V druhej polovici (až poslednej tretine seminára) niektoré zo základných tvrdení, ktoré budeme v priebehu ďalších stretnutí využívať, dokážeme.Úlohy a riešenia
Úloha
Riešenie
Potom \(|\measuredangle BAC|=|\measuredangle ACX|\) a \(|\measuredangle ABC|=|\measuredangle BCY|\), pretože ide o dvojice striedavých uhlov. Keďže \(|\measuredangle ACX|+|\measuredangle ACB|+ |\measuredangle BCY|=180^\circ\), pretože uhol \(XCY\) je priamy, platí aj \(|\measuredangle BAC|+|\measuredangle ABC|+|\measuredangle ACB|=180^\circ\).
Úloha 66-I-3-N1
Riešenie*
Úloha 63-I-4-N3
a) Ak majú dva trojuholníky rovnakú výšku, potom pomer ich obsahov sa rovná pomeru dĺžok príslušných základní.
b) Ak majú dva trojuholníky zhodné základne, potom pomer ich obsahov sa rovná pomeru príslušných výšok.
Riešenie
b) Označme zhodnú základňu dvoch trojuholníkov \(z\), v trojuholníku \(T_1\) je výška na túto základňu \(v_1\), v trojuholníku \(T_2\) je výška na túto základňu \(v_2\). Pomer obsahov trojuholníkov \(T_1\) a \(T_2\) je \[\frac{S_{T_1}}{S_{T_2}}=\frac{\frac{1}{2}zv_1}{\frac{1}{2}zv_2}=\frac{v_1}{v_2},\] čo je pomer príslušných výšok.
Úloha 61-I-5-N1
Riešenie*
Úloha
Riešenie
Keďže uhly \(ABD\) a \(BDC\) sú striedavé, majú rovnakú veľkosť. Podobne uhly \(BAC\) a \(ACD\) sú rovnako veľké, pretože sú takisto dvojicou striedavých uhlov. Potom sú trojuholníky \(ABU\) a \(CDU\) zhodné, keďže sa zhodujú v jednej strane \(|AB|=|CD|\) a v dvoch k nej priľahlých uhloch. Preto aj \(|AU|=|UC|\), \(|BU|=|UD|\) a tvrdenie je dokázané.
Úloha 58-I-4-N1
Riešenie
Úloha 64-I-4-N1
Riešenie
Trojuholníky \(ABU\) a \(CDU\) sú zrejme podobné (\(|\measuredangle BAU|=|\measuredangle UCD|\), \(|\measuredangle ABU|=|\measuredangle CDU|\), \(|\measuredangle AUB|=|\measuredangle CUD|\), pretože prvé dve sú dvojice striedavých uhlov, posledné dva sú uhly vrcholové) s koeficientom podobnosti \(k=a/c\). Preto pre výšku \(v_1\) na stranu \(AB\) v trojuholníku \(ABU\) a výšku \(v_2\) na stranu \(CD\) v trojuholníku \(CDU\) platí \(v_1/v_2=k\), resp. \(v_1=kv_2=(av_2)/c\). Potom pre pomer obsahov trojuholníkov \(ABU\) a \(CDU\) máme \[\frac{S_{ABU}}{S_{CDU}}=\frac{\frac{1}{2}av_1}{\frac{1}{2}cv_2}=\frac{a\frac{av_2}{c}}{cv_2}=\frac{a^2}{c^2}.\]
Záverečný komentár
Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že študenti budú o(c)hromení množstvom nových poznatkov v tomto seminári. Dúfame však, že sa tak nestane, keďže veľká väčšina obsahu by mala byť prinajmenšom povedomá, ak nie úplne zrozumiteľná. Seminár tiež patrí k tým menej náročným, avšak je veľmi dôležitou prípravou pred tvrdšími orieškami.
Domáca práca
Úloha 58-I-2-D1
Riešenie
Úloha 58-I-2-D2
Riešenie
Doplňujúce zdroje a materiály
Ak študenti budú stále neistí v používaní základných geometrických poznatkov, je možné ich odkázať na základoškolské učebnice geometrie, v ktorých nájdu aj jednoduchšie príklady na precvičenie, príp. vhodným doplnkom geometrického vzdelania je aj publikácia (Kadleček 1996).
Kadleček, Jiří. 1996. Geometrie V Rovině a V Prostoru: Pro Střední školy. Praha: Prometheus.
Kubát, Josef, Dag Hrubý, and Josef Pilgr. 2000. Sbírka úloh Z Matematiky Pro Střední školy: Maturitní Minimum. 1. vydání. Praha: Prometheus.