Seminár 10: Geometria I – základné poznatky

Ciele

Zopakovať a upevniť základné poznatky z planimetrie, ktoré by študenti mali mať zo základnej školy. Venovať sa vlastnostiam uhlov, trojuholníkov, štvoruholníkov a kružníc. Niektoré z poznatkov odvodiť.

Úvodný komentár

Keďže planimetria častokrát nie je súčasťou osnov 1. ročníka gymnázií, je potrebné poznatky žiakov z tejto oblasti o to starostlivejšie zopakovať. Geometrické úlohy majú veľmi často najhoršiu úspešnosť v krajských kolách MO, čo môže mať viacero dôvodov. Nepopierateľne však študentom tréning pomôže, preto je geometrii v priebehu roka venovaných 8 seminárov.

Zo zmienených dôvodov má preto tento seminár odlišnú štruktúru ako predchádzajúce – viac ako riešeniu úloh z olympiád sa venujeme opakovaniu základných vlastností uhlov, trojuholníkov, štvoruholníkov a kružníc, ktorých znalosti budú nenahraditeľné v ďalších piatich geometrických seminároch. Spolu so študentmi tak vytvoríme základnú výbavu, ktorá im pomôže v boji s geometrickými záludnosťami.

Študenti by mali mať nasledujúce znalosti (voľne spracované podľa (Kubát, Hrubý, and Pilgr 2000)):

Komentár

Skôr než frontálny výklad je vhodné nechať skladať mozaiku vedomostí študentov. Ak pracujeme s malou skupinou, môžeme o vyššie spomenutých bodoch diskutovať všetci spoločne. Ak seminár navštevuje väčšie množstvo záujemcov o matematiku, rozdelíme študentov na menšie skupiny, pričom každá spracuje poznatky o zadanej neprázdnej podmnožine vyššie spomenutých oblastí. Tie si potom študenti navzájom odprezentujú, vedúci seminára nepresnosti vhodnými otázkami koriguje. Táto časť by mala zabrať približne polovicu, príp. dve tretiny času vyhradeného na seminár.

Komentár

V druhej polovici (až poslednej tretine seminára) niektoré zo základných tvrdení, ktoré budeme v priebehu ďalších stretnutí využívať, dokážeme.

Úlohy a riešenia

Úloha

Dokážte, že súčet veľkostí vnútorných uhlov ľubovoľného trojuholníka je \(180^\circ\).

Riešenie

Veďme rovnobežku \(XY\) so stranou \(AB\) vrcholom \(C\) trojuholníka \(ABC\), tak že bod \(C\) leží medzi bodmi \(X\) a \(Y\) (obr. 1).

Potom \(|\measuredangle BAC|=|\measuredangle ACX|\) a \(|\measuredangle ABC|=|\measuredangle BCY|\), pretože ide o dvojice striedavých uhlov. Keďže \(|\measuredangle ACX|+|\measuredangle ACB|+ |\measuredangle BCY|=180^\circ\), pretože uhol \(XCY\) je priamy, platí aj \(|\measuredangle BAC|+|\measuredangle ABC|+|\measuredangle ACB|=180^\circ\).

Úloha 66-I-3-N1

Z trojuholníkových nerovností medzi dĺžkami strán ľubovoľného trojuholníka odvoďte známe pravidlo \(\alpha < \beta \Rightarrow a < b\) o porovnaní veľkostí vnútorných uhlov a dĺžok protiľahlých strán v ľubovoľnom trojuholníku \(ABC\).

Riešenie*

Ak je \(\alpha < \beta\), môžeme nájsť vnútorný bod \(X\) strany \(AC\), pre ktorý platí \(|\measuredangle ABX| = \alpha\), a teda \(|AX| = |BX|\), takže z trojuholníkovej nerovnosti \(|BC| < |BX| + |XC|\) už vyplýva \(a < b\).

Úloha 63-I-4-N3

Dokážte vety:

a) Ak majú dva trojuholníky rovnakú výšku, potom pomer ich obsahov sa rovná pomeru dĺžok príslušných základní.

b) Ak majú dva trojuholníky zhodné základne, potom pomer ich obsahov sa rovná pomeru príslušných výšok.

Riešenie

a) Označme rovnakú výšku dvoch trojuholníkov \(v\). V trojuholníku \(T_1\) je táto výškou na základňu \(a_1\), v trojuholníku \(T_2\) na základňu \(a_2\). Pomer obsahov týchto trojuholníkov je potom \[\frac{S_{T_1}}{S_{T_2}}=\frac{\frac{1}{2}a_1v}{\frac{1}{2}a_2v}=\frac{a_1}{a_2},\] čo sme chceli dokázať.

b) Označme zhodnú základňu dvoch trojuholníkov \(z\), v trojuholníku \(T_1\) je výška na túto základňu \(v_1\), v trojuholníku \(T_2\) je výška na túto základňu \(v_2\). Pomer obsahov trojuholníkov \(T_1\) a \(T_2\) je \[\frac{S_{T_1}}{S_{T_2}}=\frac{\frac{1}{2}zv_1}{\frac{1}{2}zv_2}=\frac{v_1}{v_2},\] čo je pomer príslušných výšok.

Úloha 61-I-5-N1

Pre všeobecný trojuholník \(ABC\) so stranami \(a\), \(b\), \(c\) a obsahom \(S\) platí pre polomer \(r\) vpísanej kružnice vzorec \(r = 2S/(a + b + c)\). Dokážte.

Riešenie*

Stred \(M\) vpísanej kružnice rozdeľuje uvažovaný trojuholník \(ABC\) na tri menšie trojuholníky \(BCM\), \(ACM\), \(ABM\) s obsahmi \(\frac{1}{2}ar\), \(\frac{1}{2}br\), \(\frac{1}{2}cr\), ktorých súčet je \(S\), odkiaľ vyplýva dokazovaný vzorec.

Úloha

Dokážte, že uhlopriečky v rovnobežníku sa navzájom polia.

Riešenie

Označme \(U\) priesečník uhlopriečok \(AC\) a \(BD\) rovnobežníka \(ABCD\) (obr. 4).

Keďže uhly \(ABD\) a \(BDC\) sú striedavé, majú rovnakú veľkosť. Podobne uhly \(BAC\) a \(ACD\) sú rovnako veľké, pretože sú takisto dvojicou striedavých uhlov. Potom sú trojuholníky \(ABU\) a \(CDU\) zhodné, keďže sa zhodujú v jednej strane \(|AB|=|CD|\) a v dvoch k nej priľahlých uhloch. Preto aj \(|AU|=|UC|\), \(|BU|=|UD|\) a tvrdenie je dokázané.

Úloha 58-I-4-N1

Označme \(U\) priesečník uhlopriečok daného konvexného štvoruholníka \(ABCD\). Dokážte, že priamky \(AB\) a \(CD\) sú rovnobežné práve vtedy, keď trojuholníky \(ADU\) a \(BCU\) majú rovnaký obsah.

Riešenie

Rovnosť obsahov trojuholníkov \(ADU\) a \(BCU\) je ekvivalentná s rovnosťou obsahov trojuholníkov \(ABC\) a \(ABD\) so spoločnou stranou \(AB\), pretože \(S_{ABC}=S_{ABU}+S_{BCU}\) a \(S_{ABD}=S_{ABU}+S_{AUD}\) (obr. 5). Trojuholníky \(ABC\) a \(ABD\) majú spoločnú základňu \(AB\), takže ich obsahy budú rovnaké práve vtedy, ak výšky na túto stranu budú rovnaké, resp. ak body \(C\) a \(D\) budú od priamky \(AB\) rovnako vzdialené. To nastane len v prípade, ak body \(C\) a \(D\) ležia na priamke rovnobežnej s priamkou \(AB\), čo sme chceli dokázať.

Úloha 64-I-4-N1

Lichobežník \(ABCD\) má základne s dĺžkami \(|AB|=a\) a \(|CD|=c\) a jeho uhlopriečky sa pretínajú v bode \(U\). Aký je pomer obsahov trojuholníkov \(ABU\) a \(CDU\)?

Riešenie

Trojuholníky \(ABU\) a \(CDU\) sú zrejme podobné (\(|\measuredangle BAU|=|\measuredangle UCD|\), \(|\measuredangle ABU|=|\measuredangle CDU|\), \(|\measuredangle AUB|=|\measuredangle CUD|\), pretože prvé dve sú dvojice striedavých uhlov, posledné dva sú uhly vrcholové) s koeficientom podobnosti \(k=a/c\). Preto pre výšku \(v_1\) na stranu \(AB\) v trojuholníku \(ABU\) a výšku \(v_2\) na stranu \(CD\) v trojuholníku \(CDU\) platí \(v_1/v_2=k\), resp. \(v_1=kv_2=(av_2)/c\). Potom pre pomer obsahov trojuholníkov \(ABU\) a \(CDU\) máme \[\frac{S_{ABU}}{S_{CDU}}=\frac{\frac{1}{2}av_1}{\frac{1}{2}cv_2}=\frac{a\frac{av_2}{c}}{cv_2}=\frac{a^2}{c^2}.\]

Záverečný komentár
Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že študenti budú o(c)hromení množstvom nových poznatkov v tomto seminári. Dúfame však, že sa tak nestane, keďže veľká väčšina obsahu by mala byť prinajmenšom povedomá, ak nie úplne zrozumiteľná. Seminár tiež patrí k tým menej náročným, avšak je veľmi dôležitou prípravou pred tvrdšími orieškami.

Domáca práca

Úloha 58-I-2-D1

Nech \(k\) je kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku \(ABC\) s preponou \(AB\) dĺžky \(c\). Označme \(S\) stred strany \(AB\) a \(D\) a \(E\) priesečníky osí strán \(BC\) a \(AC\) s jedným oblúkom \(AB\) kružnice \(k\). Vyjadrite obsah trojuholníka \(DSE\) pomocou dĺžky prepony \(c\).

Riešenie

Trojuholník \(DSE\) je pravouhlý rovnoramenný s pravým uhlom pri vrchole \(S\), pretože odvesny \(DS\) a \(ES\) ležia na osiach navzájom kolmých strán. Odvesny majú dĺžku \(\frac{c}{2}\), pretože sú to polomery kružnice opísanej trojuholníku \(ABC\). Obsah trojuholníka \(DSE\) je \(\frac{1}{2}\cdot|DS|\cdot |DE|=\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{2}\cdot\frac{c}{2}=\frac{c^2}{8}.\)

Úloha 58-I-2-D2

Vyjadrite obsah rovnoramenného lichobežníka \(ABCD\) so základňami \(AB\) a \(CD\) pomocou dĺžok \(a\), \(c\) jeho základní a dĺžky \(b\) jeho ramien.

Riešenie

Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že \(a>b\). Najprv vyjadríme výšku \(v\) pomocou dĺžok základní a odvesien. Nech je \(P\) päta výšky z bodu \(D\) na stranu \(AB\). Potom \(|AP|=(a-c)/2\). Použitím Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku \(APD\) máme \[\bigg(\frac{a-c}{2}\bigg)^2+v^2=b^2,\] odkiaľ \(v=\sqrt{b^2-(\frac{a-c}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4b^2-(a-c)^2}\) a preto pre obsah lichobežníka dostávame \[S_{ABCD}=\frac{1}{2}(a+c)\cdot v=\frac{1}{4}(a+c)\sqrt{4b^2-(a-c)^2}.\]

Doplňujúce zdroje a materiály

Ak študenti budú stále neistí v používaní základných geometrických poznatkov, je možné ich odkázať na základoškolské učebnice geometrie, v ktorých nájdu aj jednoduchšie príklady na precvičenie, príp. vhodným doplnkom geometrického vzdelania je aj publikácia  (Kadleček 1996).

Kadleček, Jiří. 1996. Geometrie V Rovině a V Prostoru: Pro Střední školy. Praha: Prometheus.

Kubát, Josef, Dag Hrubý, and Josef Pilgr. 2000. Sbírka úloh Z Matematiky Pro Střední školy: Maturitní Minimum. 1. vydání. Praha: Prometheus.