Seminár 19: Algebraické výrazy a rovnice – zložitejšie rovnice a ich systémy

Označme \(a/b\) pôvodný zlomok. Podľa zadania platia rovnosti \[\frac{a + 1}{b + 1}-\frac{a}{b}=\frac{1}{20} \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ \frac{a+2}{b+2}-\frac{a}{b}=\frac{1}{12} \ \ \ \ (a, b \in \NN),\] ktoré sú ekvivalentné so vzťahmi \[20b(a + 1)- 20a(b + 1) = b(b + 1) \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ 12b(a + 2)- 12a(b + 2) = b(b + 2).\] Tie upravíme na tvar \(19b- 20a = b^2\) a \(22b - 24a = b^2\). Po odčítaní oboch vzťahov zistíme, že \(4a = 3b\), čo po dosadení do druhej rovnosti dá \(22b- 18b = b^2\), čiže \(b^2 = 4b\). Vzhľadom na podmienku \(b \neq 0\) odtiaľ vyplýva \(b = 4\) a \(a = 3\). Hľadané zlomky sú teda \(\frac{3}{4}\), \(\frac{4}{5}\) a \(\frac{5}{6}\).

Iné riešenie*. Označme \(a/b\) pôvodný zlomok. Zo vzťahov \[\frac{1}{20}=\frac{1}{4\cdot 5} \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ \frac{1}{12}=\frac{1}{4\cdot 3}=\frac{2}{4\cdot 6}\] možno odhadnúť, že riešením by mohlo byť \(b = 4\). Potom \[\frac{4(a + 1) - 5a}{4 \cdot 5}=\frac{1}{20} \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ \frac{4(a + 2) - 6a}{4 \cdot 6}=\frac{1}{12},\] čiže \(a = 3\). Musíme sa však ešte presvedčiť, že úloha iné riešenie nemá. Podmienky úlohy vedú ku vzťahom \[\frac{b - a}{b(b + 1)}=\frac{1}{4\cdot 5} \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ \frac{2(b - a)}{b(b + 2)}=\frac{2}{4\cdot 6}.\] Z podielu ich ľavých a pravých strán potom vyplýva \[\frac{b + 2}{b + 1}=\frac{6}{5},\] čomu vyhovuje jedine \(b = 4\).

Poznámka. V úplnom riešení nesmie chýbať vylúčenie možnosti \(b \neq 4\). Napríklad z podobných rovností \(1/20 = 30/(24 \cdot 25)\) a \(1/12 = 52/(24 \cdot 26)\) by sme mohli hádať, že \(b = 24\), čo riešením nie je.

\(\lfloor 0 \rfloor = 0, \lfloor 3{,}5 \rfloor = 3,\lfloor 2{,}1\rfloor =2, \lfloor -4 \rfloor = -4, \lfloor -3{,}9 \rfloor =-4, \lfloor -0{,}2\rfloor =-1.\)

\(\lfloor a \rfloor = a, \lfloor a+t \rfloor= a\), \(\lfloor a+\frac{1}{2}t\rfloor = a\), \(\lfloor a-t \rfloor = a\), ak \(t= 0\), resp. \(\lfloor a-t \rfloor = a-1\), ak \(t\neq 0\), \(\lfloor a+2t \rfloor = a\), ak \(t<0,5\), resp. \(\lfloor a+2t \rfloor = a+1\), ak \(t\geq 0,5\), \(\lfloor a-2t\rfloor=a\), ak \(t=0\), resp. \(\lfloor a-2t\rfloor=a-1\) ak \(t\leq 0,5\) a \(\lfloor a-2t\rfloor=a-2\) ak \(t>0,5\).

Položme \(\lfloor x\rfloor = a\), potom \(x = a + t\), pričom \(t \in \langle 0, 1)\), a rovnicu \(4(a + t)- 2a = 5\) ekvivalentne upravme na tvar \(a=\frac{5}{2}- 2t\). Aby bolo číslo \(a\) celé, musí byť \(2t = k~\cdot\frac{1}{2}\), pričom \(k\) je nepárne číslo. Navyše \(2t \in \langle 0, 2)\). Teda buď \(2t =\frac{1}{2}\) a \(a = 2\), alebo \(2t =\frac{3}{2}\) a \(a = 1\). Pôvodná rovnica má preto dve riešenia: \(x_1 = 2,25\) a \(x_2 = 1,75\).

Iné riešenie*. Rovnicu upravíme na tvar \(2x - \frac{5}{2} = \lfloor x\rfloor\). Taká rovnica bude splnená práve vtedy, keď číslo \(2x - \frac{5}{2}\) bude celé a bude spĺňať nerovnosti \(x - 1 < 2x - \frac{5}{2} \leq x\), ktoré sú ekvivalentné s podmienkou \(\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}\). Pre takéto \(x\) zrejme hodnoty výrazu \(2x - \frac{5}{2}\) vyplnia interval \(( \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \rangle\). V ňom ležia práve dve celé čísla 1 a 2, teda hľadané \(x\) nájdeme z rovníc \(2x - \frac{5}{2} = 1\) a \(2x - \frac{5}{2} = 2\).

Komentár

Aj napriek tomu, že funkcia dolná celá časť nie je bežným učivom preberaným v školách, nemala by analýza úlohy robiť žiakom veľké problémy.

Zlomok \((4n+27)/(n+3)\) upravíme na tvar \(4+15/(n+3)\), teda číslo \(n+3\) musí deliť 15. Z toho dostávame \(n \in \{-18,-8,-6,-4,-2, 0, 2,12 \}\).

Keď označíme \(x\) počet krabičiek a \(y\) počet guľôčok, dostaneme zo zadania sústavu rovníc \[\label{eq:57I3_1} x + n = y \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ (x - n) \cdot n = y\] s neznámymi \(x\), \(y\) a \(n\) z oboru prirodzených čísel. Vylúčením neznámej \(y\) dostaneme rovnicu \(x + n = (x - n) \cdot n\), ktorá pre \(n = 1\) nemá riešenie. Pre \(n \geq 2\) dostaneme \[\label{eq:57I3_2} x =\frac{n^2+n}{n-1}=n+2+\frac{2}{n-1},\] odkiaľ vidíme, že (prirodzené) číslo \(n - 1\) musí byť deliteľom čísla 2. Teda \(n \in \{2, 3\}\). Prípustné hodnoty \(n\) dosadíme do [eq:57I3_1] a sústavu vyriešime (možno tiež využiť vzťah [eq:57I3_2]. Pre \(n = 2\) dostaneme \(x = 6, y = 8\) a pre \(n = 3\) určíme \(x = 6\) a \(y = 9\).

Skúška. Majme šesť krabičiek a osem guľôčok. Keď do každej krabičky dáme práve jednu guľôčku, ostane \(n = 2\) guľôčok. Keď však odoberieme dve krabičky, môžeme do zostávajúcich štyroch rozdeliť guľôčky práve po dvoch. Podmienky úlohy sú teda splnené. Pre šesť krabičiek a deväť guľôčok urobíme skúšku rovnako ľahko.

Záver. Buď máme šesť krabičiek a osem guľôčok, alebo šesť krabičiek a deväť guľôčok.

Komentár

Úloha, spolu s úlohou predchádzajúcou, je bežnou slovnou úlohou vedúcou na sústavu rovníc. Jej úspešné vyriešenie však vyžaduje umnú manipuláciu s výrazmi.

Rovnicu prepíšeme na tvar \[x-y=(z-y)\sqrt{3}+(x-z)\sqrt{7}\] a umocníme. Po jednoduchej úprave dostaneme \[\label{eq:57II4} (x - y)^2 - 3(z - y)^2 - 7(x - z)^2 = 2(x - z)(z - y)\sqrt{21}.\] Pre \(x \neq z\) a \(y \neq z\) nemôže rovnosť [eq:57II4] platiť, pretože jej pravá strana je v takom prípade číslo iracionálne, zatiaľ čo ľavá strana je číslo celé. Rovnosť teda môže nastať, len keď \(x = z\) alebo \(y = z\).

V prvom prípade po dosadení \(x = z\) do pôvodnej rovnice dostaneme \(z-y =\sqrt{3}(z- y)\). Odtiaľ \(z = y = x\).

V druhom prípade, keď \(y = z\), dôjdeme analogicky k rovnakému výsledku.

Záver. Riešením danej rovnice sú všetky trojice \((x, y, z) = (k, k, k)\), kde \(k\) je ľubovoľné celé číslo.

Komentár

Aj napriek tomu, že vzorové riešenie úlohy vyzerá zrozumiteľne, úloha riešiteľov krajských kôl potrápila (bola najhoršie hodnotenou úlohou daného krajského kola). Záludnosti sa ukrývajú vo vytyčovaní iracionálnych čísel a nie neznámych, vhodnej úprave rovnice a diskusii o (i)racionalite oboch strán rovnice.

Vzhľadom na to, že pre každé reálne číslo \(a\) platí \(\sqrt{a^2}= |a|\), je daná sústava rovníc ekvivalentná so sústavou rovníc \[\begin{aligned} |x + 4| &= 4 - y,\\ |y - 4| &= x + 8.\end{aligned}\]

Z prvej rovnice vidíme, že musí byť \(4 - y \geq 0\), teda \(y \leq 4\). V druhej rovnici môžeme teda odstrániť absolútnu hodnotu. Dostaneme tak \[|y - 4| = 4 - y = x + 8,\ \ \ \ \mathrm{ t.\,j.}\ \ \ \ - y = x + 4.\] Po dosadení za \(x + 4\) do prvej rovnice dostaneme \[|-y| = |y| = 4 - y.\] Keďže \(y \leq 4\), budeme ďalej uvažovať dva prípady.

Pre \(0 \leq y \leq 4\) riešime rovnicu \(y = 4 - y\), a teda \(y = 2\). Nájdenej hodnote \(y = 2\) zodpovedá po dosadení do druhej rovnice \(x = -6\).

Pre \(y < 0\) dostaneme rovnicu \(-y = 4 - y\), ktorá však nemá riešenie.

Záver. Daná sústava rovníc má práve jedno riešenie, a to \((x, y) = (-6, 2)\).

Iné riešenie*. Odstránením absolútnych hodnôt v oboch rovniciach, t. j. rozborom štyroch možných prípadov, keď
a) \((x + 4 \geq 0) \wedge (y - 4 \geq 0), \ \mathrm{ t.\,j.} \ (x \geq -4) \wedge (y \geq 4)\),
b) \((x + 4 \geq 0) \wedge (y - 4 < 0), \ \mathrm{ t.\,j.} \ (x \geq -4) \wedge (y < 4)\),
c) \((x + 4 < 0) \wedge (y - 4 \geq 0), \ \mathrm{ t.\,j.} \ (x < -4) \wedge (y \geq 4)\),
d) \((x + 4 < 0) \wedge (y - 4 < 0), \ \mathrm{ t.\,j.} \ (x < -4) \wedge (y < 4)\),
zistíme, že prípady a), b), c) nedávajú (vzhľadom na uvedené obmedzenia v jednotlivých prípadoch) žiadne reálne riešenie. V prípade d) potom dostaneme jediné riešenie \((x, y) = (-6, 2)\) danej sústavy.

Komentár

V úvode riešenia pripomenieme vzťah \(\sqrt{a^2}=|a|\), ktorý nám pomôže transformovať sústavu zo zadania na sústavu rovníc s absolútnou hodnotou, ktorú by študenti mali byť schopní bez väčších komplikácií vyriešiť.

Keďže číslo \(p\) je celé, je aj \(y = \lfloor x \rfloor-p\) celé číslo a \(\lfloor x+y \rfloor = \lfloor x\rfloor+y\). Pôvodná sústava rovníc je teda ekvivalentná so sústavou \[\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + y &= 2 010,\\ \lfloor x\rfloor - y &= p,\end{aligned}\] ktorú ľahko vyriešime napríklad sčítacou metódou. Dostaneme \(\lfloor x \rfloor = \frac{1}{2}(2 010 + p)\) (čo môže platiť len pre párne \(p\)) a \(y = \lfloor x \rfloor - p\).

a) Pre \(p = 2\) je riešením sústavy ľubovoľné \(x \in \langle 1006, 1007)\) a \(y = 1 004\).
b) Pre \(p = 3\) nemá sústava žiadne riešenie.

Iné riešenie*. Položme \(\lfloor x \rfloor = a\), potom \(x = a + t\), pričom \(t \in \langle 0, 1)\).

a) Pre \(p = 2\) sústavu prepíšeme na tvar \(y = a-2\) a \(\lfloor 2a-2+t \rfloor = 2 010\). Z poslednej rovnice vyplýva \(2a - 2 = 2 010\), odtiaľ \(a = 1 006\). Keďže \(t \in \langle 0, 1)\), vyhovuje pôvodnej sústave každé \(x \in \langle 1006, 1007)\), pričom \(y = 1 004\).

b) Pre \(p = 3\) dostávame \(y = a - 3\) a \(\lfloor 2a - 3 + t\rfloor = 2 010\). Posledná rovnica je ekvivalentná so vzťahom \(2a - 3 = 2 010\), ktorému nevyhovuje žiadne celé číslo \(a\). Pre \(p = 3\) nemá daná sústava rovníc riešenie.

Pravá strana prvej rovnice je nezáporné číslo, čo sa premietne do druhej rovnice, pričom môžeme odstrániť absolútnu hodnotu. Aj pravá strana druhej rovnice je nezáporné číslo, čo sa s využitím rovnosti \(|z -2| = |2-z|\) premietne do tretej rovnice, pričom môžeme odstrániť absolútnu hodnotu. Daná sústava má potom tvar \[\begin{aligned} |1 - x| &= y + 1,\\ 1 + y &= z~- 2,\\ z~- 2 &= x - x^2\end{aligned}\] a odtiaľ jednoduchým porovnaním dostávame rovnicu \[|1 - x| = x - x^2.\] Pre \(x < 1\) dostaneme rovnicu \(1-x = x-x^2\) čiže \((1-x)^2 = 0\), ktorej riešenie \(x = 1\) ale predpokladu \(x < 1\) nevyhovuje.

Pre \(x \geq 1\) vyjde rovnica \(x^2 = 1\); z jej dvoch riešení \(x = -1\) a \(x = 1\) predpokladu \(x \geq 1\) vyhovuje iba \(x = 1\).

Z danej sústavy potom jednoducho dopočítame hodnoty \(y = -1\) a \(z = 2\). Sústava má teda jediné riešenie \((x, y, z) = (1, -1, 2).\)