Seminár 29: Algebraické výrazy a rovnice VI – sústavy rovníc, rovnice s parametrom

Ciele

Precvičiť so študentmi riešenie rovníc obsahujúcich parameter, zoznámiť študentov s niektorými metódami riešenia sústav rovníc

Úvodný komentár

Tento seminár je prvým zo seminárov zaoberajúcich sa úlohami kategórie B, keďže v uplynulom týždni študenti ukončili svoje pôsobenie v kategórii C. Semináre naplánované do konca roka obsahujú menší počet úloh ako doteraz – dôvodom je jednak vyššia náročnosť úloh a tiež to, aby mali študenti viac priestoru na samostatné premýšľanie a riešenie. Preto budeme študentom napovedať a pomáhať v riešení trochu striedmejšie ako doteraz.

Úlohy a riešenia

Úloha B-66-II-1

Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel \(a\), \(b\), pre ktoré platí \[a +\frac{66}{a}= b +\frac{66}{b}.\]

Riešenie*

Anulovaním pravej strany upravíme danú rovnicu na tvar \[a - b + 66\bigg(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\bigg)= (a - b)\bigg(1-\frac{66}{ab}\bigg)=\frac{1}{ab}(a - b)(ab - 66) = 0.\] Z toho vyplýva, že hľadané dvojice \((a, b)\) prirodzených čísel sú práve tie, pre ktoré platí \(a = b\) alebo \(ab = 66\).

Úlohe teda vyhovuje nekonečne veľa dvojíc prirodzených čísel tvaru \((a, b) = (k, k)\), pričom \(k\) je ľubovoľné prirodzené číslo, a keďže číslo \(66 = 2\cdot 3\cdot 11\) má osem deliteľov, tak aj osem dvojíc \((a, b) \in \{\)\((1, 66)\), \((2, 33)\), \((3, 22)\), \((6, 11)\), \((11, 6)\), \((22, 3)\), \((33,2)\), \((66,1)\)\(\}\).

Komentár

Úloha je relatívne jednoduchá a vhodná ako rozcvička na začiatok seminára. Pripomenie študentom metódu riešenia rovníc rozkladom na súčin výrazov, ktorý je rovný nule. Zároveň v záverečnej diskusii zľahka využijú vedomosti o deliteľnosti prirodzených čísel.

Úloha B-58-II-1

V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc \[\begin{aligned} x + y & = 1,\\ x - y & = a,\\ -4ax + 4y & = z^2 + 4\end{aligned}\] s neznámymi \(x\), \(y\), \(z\) a reálnym parametrom \(a\).

Riešenie*

Sčítaním prvej a druhej rovnice danej sústavy dostaneme \(2x = 1 + a\), odčítaním druhej rovnice od prvej \(2y = 1 - a\). Odtiaľ \[\label{eq:B58II1_1} x =\frac{1}{2}(1 + a), \ \ \ \ y =\frac{1}{2}(1 - a).\] Keď dosadíme za \(x\) a \(y\) do tretej rovnice pôvodnej sústavy, dostaneme rovnicu \[-2a(1 + a) + 2(1 - a) = z^2 + 4,\ \ \ \ \text{čiže} \ \ \ \ z^2 + 2a^2 + 4a + 2 = 0,\] ktorú upravíme na tvar \[z^2 + 2(a + 1)^2 = 0.\] Oba sčítance na ľavej strane poslednej rovnice sú nezáporné čísla. Ich súčet je 0 práve vtedy, keď \(z = 0\), \(a = -1\). Dosadením týchto hodnôt do [eq:B58II1_1] dostaneme \(x = 0, y = 1\).

Záver. Daná sústava rovníc má riešenie iba pre \(a = -1\), a to \(x = 0\), \(y = 1\), \(z = 0\). Skúška pri tomto postupe nie je nutná.

Komentár

Úloha vyžaduje umné narábanie so sústavou troch rovníc tak, aby bolo možné uskutočniť záverečnú diskusiu o existencii riešenia pre rôzne hodnoty parametra \(a\). Je tiež vhodné so študentami prediskutovať, prečo v tomto prípade nie je nutné robiť skúšku správnosti.

Úloha B-60-S-1

V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu \[\sqrt{x + 3} +\sqrt{x} = p\] s neznámou \(x\) a reálnym parametrom \(p\).

Riešenie*

Aby bola ľavá strana rovnice definovaná, musia byť oba výrazy pod odmocninami nezáporné, čo je splnené práve pre všetky \(x \geq 0\). Pre nezáporné \(x\) potom \(p =\sqrt{x + 3}+\sqrt{x} \geq \sqrt{3}\), rovnica môže teda mať riešenie iba pre \(p \geq \sqrt{3}\).

Upravujme danú rovnicu: \[\begin{aligned} \sqrt{3} +\sqrt{x + 3} & = p, \nonumber\\ 2x + 3 + 2\sqrt{x(x + 3)} & = p^2,\nonumber \\ 2\sqrt{x(x + 3)} & = p^2- 2x - 3,\nonumber \\ 4x(x + 3) & = (p^2 -2x - 3)^2,\nonumber \\ 4x^2+ 12x & = p^4+ 4x^2+ 9 - 4p^2x - 6p^2+ 12x, \nonumber\\ x & = \frac{(p^2 - 3)^2}{4p^2}. \label{eq:B60S1}\end{aligned}\] Keďže sme danú rovnicu umocňovali na druhú, je nutné sa presvedčiť skúškou, že vypočítané \(x\) je pre hodnotu parametra \(p \geq \sqrt{3}\) riešením pôvodnej rovnice: \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{(p^2 - 3)^2}{4p^2}+ 3} +\sqrt{\frac{(p^2 - 3)^2}{4p^2}} & = \sqrt{\frac{p^4 - 6p^2 + 9 + 12p^2}{4p^2}}+\sqrt{\frac{(p^2 - 3)^2}{4p^2}} =\\ & = \sqrt{\frac{(p^2 + 3)^2}{4p^2}}+\sqrt{\frac{(p^2 -3)^2}{4p^2}}=\frac{p^2 + 3}{2p}+\frac{p^2 - 3}{2p}= p.\end{aligned}\] Pri predposlednej úprave sme využili podmienku \(p \geq \sqrt{3}\) (a teda aj \(p^2 -3 \geq 0\) a \(p > 0\)), takže \(\sqrt{(p^2 - 3)^2} = p^2 - 3\) a \(\sqrt{4p^2} = 2p\).

Poznámka. Namiesto skúšky stačí overiť, že pre nájdené \(x\) sú všetky umocňované výrazy nezáporné, teda vlastne stačí overiť, že \[p^2 - 2x - 3 =\frac{(p^2 - 3)(p^2 + 3)}{2p^2}\geq 0.\] Pre \(p \geq \sqrt{3}\) to tak naozaj je.

Vynechať skúšku možno aj takouto úvahou: Funkcia \(\sqrt{x + 3}+\sqrt{x}\) je zrejme rastúca, v bode 0 (ktorý je krajným bodom jej definičného oboru) nadobúda hodnotu \(\sqrt{3}\) a zhora je neohraničená. Preto každú hodnotu \(p \geq \sqrt{3}\) nadobúda pre práve jedno \(x \geq 0\). Z toho vyplýva, že pre \(p \geq \sqrt{3}\) má zadaná rovnica práve jedno riešenie, a teda (jediné) nájdené riešenie [eq:B60S1] musí vyhovovať.

Komentár

Úloha nie je algebraicky náročná, vyžaduje však starostlivú diskusiu definičného oboru, ktorý potom vyústi v obmedzenie hodnôt parametra \(p\). Dôležitou súčasťou riešenia je v tomto prípade aj skúška správnosti, prípadne diskusia, ktorá je uvedená v závere prezentovaného riešenia ̇

Úloha B-58-I-2

Určte všetky trojice \((x, y, z)\) reálnych čísel, pre ktoré platí \[\begin{aligned} x^2 + xy & = y^2 + z^2,\\ z^2 + zy & = y^2 + x^2 .\end{aligned}\]

Riešenie*

Odčítaním prvej rovnice od druhej dostaneme po úprave \[(z - x)(2z + 2x + y) = 0.\] Sú preto možné dva prípady, ktoré rozoberieme samostatne.

  1. Prípad \(z - x = 0\). Dosadením \(z = x\) do prvej rovnice sústavy dostaneme \(x^2+ xy = y^2 + x^2\), čiže \(y(x - y) = 0\). To znamená, že platí \(y = 0\) alebo \(x = y\). V prvom prípade dostávame trojice \((x, y, z) = (x, 0, x)\), v druhom \((x, y, z) = (x, x, x)\); také trojice sú riešeniami danej sústavy pre ľubovoľné reálne číslo \(x\), ako ľahko overíme dosadením (aj keď taká skúška pri našom postupe vlastne nie je nutná). [part:a]

  2. Prípad \(2z + 2x + y = 0\). Dosadením \(y = -2x - 2z\) do prvej rovnice sústavy dostaneme \[x^2 + x(-2x - 2z) = (-2x - 2z)^2 + z^2,\ \ \ \ \text{čiže} \ \ \ \ 5(x + z)^2 = 0.\] Posledná rovnica je splnená práve vtedy, keď \(z = -x\), vtedy však \(y = -2x - 2z = 0\).Dostávame trojice \((x, y, z) = (x, 0, -x)\), ktoré sú riešeniami danej sústavy pre každé reálne \(x\), ako overíme dosadením. (O takej skúške platí to isté čo v prípade [part:a].

Odpoveď. Všetky riešenia \((x, y, z)\) danej sústavy sú trojice troch typov: \[(x, x, x), \ \ (x, 0, x), \ \ (x, 0, -x),\] kde \(x\) je ľubovoľné reálne číslo.

Iné riešenie*. Obe rovnice sústavy sčítame. Po úprave dostaneme rovnicu \[y(x + z - 2y) = 0\] a opäť rozlíšime dve možnosti.

  1. Prípad \(y = 0\). Z prvej rovnice sústavy ihneď vidíme, že \(x^2 = z^2\), čiže \(z =\pm x\). Skúškou overíme, že každá z trojíc \((x, 0, x)\) a \((x, 0, -x)\) je pre ľubovoľné reálne \(x\) riešením. [part:a2]

  2. Prípad \(x + z - 2y = 0\). Dosadením \(y = \frac{1}{2}(x + z)\) do prvej rovnice sústavy dostaneme \[x^2 + x(x + z)^2=\frac{(x + z)^2}{4}+ z^2, \ \ \ \ \text{po úprave} \ \ \ \ x^2 = z^2.\] Platí teda \(z = -x\) alebo \(z = x\). Dosadením do rovnosti \(x + z - 2y = 0\) v prvom prípade dostaneme \(y = 0\), v druhom prípade \(y = x\). Zodpovedajúce trojice \((x, 0, -x)\) a \((x, x, x)\) sú riešeniami pre každé reálne \(x\) (prvé z nich sme však našli už v časti [part:a2].

Úloha B-60-I-1

V obore reálnych čísel vyriešte sústavu \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2} & = z + 1,\\ \sqrt{y^2 + z^2} & = x + 1,\\ \sqrt{z^2 + x^2} & = y + 1.\end{aligned}\]

Riešenie*

Umocnením a odčítaním prvých dvoch rovností dostaneme \(x^2 - z^2= (z + 1)^2 - (x + 1)^2\), čo upravíme na \(2(x^2 - z^2 ) + 2(x - z) = 0\), čiže \[\label{eq:B60I1} (x - z)(x + z + 1) = 0.\] Analogicky by sme dostali ďalšie dve rovnice, ktoré vzniknú z [eq:B60I1] cyklickou zámenou neznámych \(x \rightarrow y \rightarrow z\). Vzhľadom na túto symetriu (daná sústava sa nezmení dokonca pri ľubovoľnej permutácii neznámych) stačí rozobrať len nasledovné dve možnosti:

Ak \(x = y = z\), prejde pôvodná sústava na jedinú rovnicu \(\sqrt{2x^2} = x + 1\), ktorá má dve riešenia \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2}\). Každá z trojíc \((1 \pm \sqrt{2}, 1 \pm \sqrt{2}, 1 \pm{2})\) je zrejme riešením pôvodnej sústavy.

Ak sú niektoré dve z čísel \(x, y, z\) rôzne, napríklad \(x \neq z\), vyplýva z [eq:B60I1] rovnosť \(x+z = - 1\). Dosadením \(x+1 = - z\) do druhej rovnice sústavy dostávame \(y = 0\) a potom z tretej rovnice máme \(x^2 + (x + 1)^2 = 1\), čiže \(x(x + 1) = 0\). Posledná rovnica má dve riešenia \(x = 0\) a \(x = - 1\), ktorým zodpovedajú \(z = - 1\) a \(z = 0\). Ľahko overíme, že obe nájdené trojice \((0, 0, - 1)\) a \((- 1, 0, 0)\) sú riešeniami danej sústavy, rovnako aj trojica \((0, - 1, 0)\), ktorú dostaneme ich permutáciou.

Daná sústava má päť riešení: \((0, 0, - 1), (0, - 1, 0), ( - 1, 0, 0), (1 +\sqrt{2}, 1 +\sqrt{2}, 1 +\sqrt{2})\) a \((1 -\sqrt{2}, 1 -\sqrt{2}, 1 -\sqrt{2})\).

Komentár

Posledné dve úlohy seminára kombinujú princípy z prvých dvoch úloh: vhodné sčítanie a odčítanie rovníc medzi sebou a úpravu na súčin členov, ktorý je rovný nule. Dôležité však je, aby boli študenti pozorní pri vyvodzovaní záverov a pokryli v ich riešení všetky možnosti. Zároveň je posledná úloha pekným príkladom symetrie, je vhodné so študentami prediskutovať, ako táto úlohu zjednodušuje.