Seminár 30: Algebraické výrazy a rovnice VII – Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnica má dvojnásobný koreň práve vtedy, ak jej diskriminant je rovný nule. Z tejto podmienky pre rovnice zo zadania dostávame \[\begin{aligned} a^2-4a-4b+16 & = 0, \\ a^2+4a-12b+24 & =0. \end{aligned} \label{eq:B57I5N3}\] Odčítaním druhej rovnice od prvej máme po úprave \(a=b-1\). Dosadením tohto vzťahu do jednej z rovníc v [eq:B57I5N3] potom určíme možné hodnoty \(b\), ktoré sú 3 a 7. K nim odpovedajúce hodnoty \(a\) sú tak 2 a 6 a teda hľadané dvojice reálnych čísel \((a,b)\) sú \((2, 3)\) a \((6, 7)\).

Komentár

Jednoduchá úloha na úvod, v ktorej študenti aplikujú znalosti o závislosti medzi hodnotou diskriminantu a počtom riešení kvadratickej rovnice. Ten potom vedie na riešenie sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámymi.

Zo zadania vyplýva, že \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) (inak by rovnice neboli kvadratické) a \(a \neq b\) (inak by rovnice boli totožné, a ak by mali dva reálne korene, boli by oba spoločné).

Označme \(x_0\) spoločný koreň oboch rovníc, takže \[ax_0^2+ 2bx_0 + 1 = 0,\ \ \ bx_0^2+ 2ax_0 + 1 = 0.\] Odčítaním oboch rovníc dostaneme \((a - b)(x_0^2- 2x_0 ) = x_0 (a - b)(x_0 - 2) = 0\). Keďže \(a \neq b\) a 0 zrejme koreňom daných rovníc nie je, musí byť spoločným koreňom číslo \(x_0 = 2\). Dosadením do daných rovníc tak dostaneme jedinú podmienku \(4a + 4b + 1 = 0\), čiže \[b = -a -\frac{1}{4}.\]

Diskriminant druhej z daných rovníc je potom \(4a^2 - 4b = 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2\), takže rovnica má dva rôzne reálne korene pre ľubovoľné \(a \neq -\frac{1}{2}\). Podobne diskriminant prvej z daných rovníc je \(4b^2- 4a = 4b^2 + 4b +1 = (2b +1)^2\). Rovnica má teda dva rôzne reálne korene pre ľubovoľné \(b \neq -\frac{1}{2}\), čiže \(a\neq \frac{1}{4}\)

Z uvedených predpokladov však zároveň vyplýva \(a \neq -\frac{1}{4}\) \((b \neq 0)\) a \(a \neq - \frac{1}{8}\) \((a \neq b)\).

Záver. Vyhovujú všetky dvojice \((a, -a - \frac{1}{4})\), kde \(a \in \RR \ \{-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, 0, \frac{1}{4}\}\).

Komentár

V úlohe sa k správnemu riešeniu dostaneme pomocou vhodného odčítania dvoch rovníc (a potom vhodnou úpravou takto vzniknutej rovnice). Považujeme za vhodné študentov na tento upozorniť, keďže nájde uplatnenie nielen v nasledujúcej úlohe, ale aj v rôznych iných príkladoch.