Seminár 30: Algebraické výrazy a rovnice VII – Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnica má dvojnásobný koreň práve vtedy, ak jej diskriminant je rovný nule. Z tejto podmienky pre rovnice zo zadania dostávame $$\begin{aligned} a^2-4a-4b+16 & = 0, \\ a^2+4a-12b+24 & =0. \end{aligned} \label{eq:B57I5N3}$$ Odčítaním druhej rovnice od prvej máme po úprave $a=b-1$. Dosadením tohto vzťahu do jednej z rovníc v [eq:B57I5N3] potom určíme možné hodnoty $b$, ktoré sú 3 a 7. K nim odpovedajúce hodnoty $a$ sú tak 2 a 6 a teda hľadané dvojice reálnych čísel $(a,b)$ sú $(2, 3)$ a $(6, 7)$.

Komentár

Jednoduchá úloha na úvod, v ktorej študenti aplikujú znalosti o závislosti medzi hodnotou diskriminantu a počtom riešení kvadratickej rovnice. Ten potom vedie na riešenie sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámymi.

Zo zadania vyplýva, že $a \neq 0$, $b \neq 0$ (inak by rovnice neboli kvadratické) a $a \neq b$ (inak by rovnice boli totožné, a ak by mali dva reálne korene, boli by oba spoločné).

Označme $x_0$ spoločný koreň oboch rovníc, takže $$ax_0^2+ 2bx_0 + 1 = 0,\ \ \ bx_0^2+ 2ax_0 + 1 = 0.$$ Odčítaním oboch rovníc dostaneme $(a - b)(x_0^2- 2x_0 ) = x_0 (a - b)(x_0 - 2) = 0$. Keďže $a \neq b$ a 0 zrejme koreňom daných rovníc nie je, musí byť spoločným koreňom číslo $x_0 = 2$. Dosadením do daných rovníc tak dostaneme jedinú podmienku $4a + 4b + 1 = 0$, čiže $$b = -a -\frac{1}{4}.$$

Diskriminant druhej z daných rovníc je potom $4a^2 - 4b = 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$, takže rovnica má dva rôzne reálne korene pre ľubovoľné $a \neq -\frac{1}{2}$. Podobne diskriminant prvej z daných rovníc je $4b^2- 4a = 4b^2 + 4b +1 = (2b +1)^2$. Rovnica má teda dva rôzne reálne korene pre ľubovoľné $b \neq -\frac{1}{2}$, čiže $a\neq \frac{1}{4}$

Z uvedených predpokladov však zároveň vyplýva $a \neq -\frac{1}{4}$ $(b \neq 0)$ a $a \neq - \frac{1}{8}$ $(a \neq b)$.

Záver. Vyhovujú všetky dvojice $(a, -a - \frac{1}{4})$, kde $a \in \RR \ \{-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, 0, \frac{1}{4}\}$.

Komentár

V úlohe sa k správnemu riešeniu dostaneme pomocou vhodného odčítania dvoch rovníc (a potom vhodnou úpravou takto vzniknutej rovnice). Považujeme za vhodné študentov na tento upozorniť, keďže nájde uplatnenie nielen v nasledujúcej úlohe, ale aj v rôznych iných príkladoch.