Seminár 32: Geometria VIII – výpočtové úlohy

Trojuholník \(UST\) je pravouhlý. Jeho prepona \(UT\) má dĺžku \(s + t\), dĺžky odvesien sú \(|US| = t + 2\), \(|ST| = s\) (obr. 1). Podľa Pytagorovej vety platí \[(s + t)^2 = (t + 2)^2 + s^2.\] Úpravami postupne dostávame \[\begin{aligned} s^2 + 2st + t^2 & = t^2 + 4t + 4 + s^2,\\ st & = 2t + 2,\\ t(s - 2) & = 2.\end{aligned}\] Čísla \(t\) a \(s - 2\) sú celé, preto \(t\) musí byť deliteľom čísla \(2\). Keďže \(t\) je kladné, sú len dve možnosti; ak \(t = 1\) cm, tak \(s = 4\) cm, a ak \(t = 2\) cm, tak \(s = 3\) cm.

V súlade s obr. 2 označme \(x = |CL|\), \(y = |CK|\), potom \(|BL| = a - x\), a \(|AK| = b - y\), pričom \(a\), \(b\) sú postupne dĺžky odvesien \(BC\), \(AC\).

Použitím Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku \(KLC\) dostaneme \(|KL|^2= x^2 + y^2\), takže skúmaný súčet môžeme upraviť nasledujúcim spôsobom: \[\begin{aligned} |AK|^2+ |KL|^2+ |LB|^2 & = (b - y)^2+ x^2+ y^2+ (a - x)^2=\\ & = 2x^2+ 2y^2 - 2ax - 2by + a^2+ b^2=\\ & = 2\bigg(x-\frac{a}{2}\bigg)^2+ 2\bigg( y -\frac{b}{2}\bigg)^2+\frac{a^2 + b^2}{2}=\\ & = 2\bigg(x -\frac{a}{2}\bigg)^2+ 2\bigg( y -\frac{b}{2}\bigg)^2+\frac{c^2}{2}.\end{aligned}\] Vďaka nezápornosti druhých mocnín z toho vidíme, že skúmaný výraz nadobúda svoju najmenšiu hodnotu, konkrétne \(\frac{1}{2}c\), práve vtedy, keď \(x =\frac{1}{2}a\) a súčasne \(y=\frac{1}{2}b\), teda práve vtedy, keď body \(K\), \(L\) sú postupne stredmi odvesien \(AC\), \(BC\) daného pravouhlého trojuholníka \(ABC\).

Záver. Najmenšia možná hodnota skúmaného súčtu je rovná \(\frac{1}{1}c^2\). Túto hodnotu dostaneme práve vtedy, keď body \(K\), \(L\) budú postupne stredmi odvesien \(AC\), \(BC\) daného pravouhlého trojuholníka.

V danom trojuholníku \(ABC\) označme \(X\), \(Y\), \(Z\) body dotyku vpísanej kružnice s jeho stranami a \(x = |AY | = |AZ|\), \(y = |BX| = |BZ|\), \(z = |CX| = |CY|\) zhodné úseky dotyčníc k vpísanej kružnici z jednotlivých vrcholov (obr. [fig:B63S3_1]). Ak označíme

[fig:B63S3_1]

zvyčajným spôsobom \(a\), \(b\), \(c\) dĺžky jednotlivých strán, platí \[a = y + z, \ \ \ \ b = z + x, \ \ \ \ c = x + y.\] Sčítaním týchto troch rovníc dostaneme (pomocou \(s\) ako zvyčajne označujeme polovičný obvod trojuholníka) \[2s = a + b + c = 2x + 2y + 2z,\] takže nám vyjde \[\label{eq:B63S3} x + y + z = s, \ \ \ \ x = s - a,\ \ \ \ y = s - b, \ \ \ \ z = s - c.\] Pozrime sa teraz na pripísanú kružnicu trojuholníku \(ABC\), ktorá sa dotýka jeho strany \(BC\) v bode \(P\) a polpriamok \(AB\) a \(AC\) v bodoch \(R\) a \(Q\) (obr. [fig:B63S3_2]). Zo zhodnosti úsekov príslušných dotyčníc k tejto kružnici máme \[|AR| = |AQ|, \ \ \ \ |BR| = |BP|, \ \ \ \ |CP| = |CQ|,\] odkiaľ vychádza \[\begin{aligned} 2|AR| = |AR| + |AQ| & = |AB| + |BR| + |AC| + |CQ| = \\ & = |AB| + |BP| + |AC| + |CP| = a + b + c = 2s,\end{aligned}\] čiže \(|AR| = |AQ| = s\). Z tejto rovnosti ale vyplýva, že \(|BP| = |BR| = s - c\), čo je podľa [eq:B63S3] zároveň dĺžka z úsečky \(CX\), teda \(|BP| = |CX|\). To znamená, že body \(P\) a \(X\) sú súmerne združené podľa stredu úsečky \(BC\).

[fig:B63S3_2]

Analogicky by sme odvodili rovnosti \(|BK| = s\) a \(|CL| = s\) pre body dotyku \(K\) a \(L\) kružníc pripísaných stranám \(CA\) a \(AB\) (obr. [fig:B63S3_2]) trojuholníka \(ABC\) s priamkou \(a\). Z týchto posledných rovností však vidíme, že \(|BL| = s - a = |CK|\), teda aj body \(K\) a \(L\) sú súmerne združené podľa stredu úsečky \(BC\). Body \(K\) a \(L\) sú známe (z troch daných bodov na priamke sú to tie dva krajné), poznáme teda aj stred \(S\) strany \(BC\) (je to stred úsečky \(KL\)) a bod \(X\) nájdeme ako obraz tretieho daného bodu \(P\) v stredovej súmernosti podľa stredu úsečky \(BC\).

Majme také dve kružnice, ktoré spĺňajú predpoklady úlohy (obr. [fig:B65I3_1]). Zrejme stred \(S_1\) leží na osi uhla \(BAC\) a stred \(S_2\) na osi uhla \(ABC\). Ďalej si uvedomme, že veľkosť

[fig:B65I3_1]

polomeru \(r_1\) kružnice \(k_1\) je priamo úmerná dĺžke úsečky \(AS_1\) a podobne veľkosť \(r_2\) priamo úmerná dĺžke úsečky \(BS_2\). Keď zväčšíme polomer jednej z kružníc, musí sa nutne polomer druhej kružnice zmenšiť.

Kružnica \(k_2\) nemôže mať polomer väčší ako najväčšia kružnica, ktorú možno do trojuholníka \(ABC\) vpísať. Takou kružnicou je zrejme kružnica \(k\) do trojuholníka \(ABC\) vpísaná. A naopak najmenší polomer bude mať kružnica \(k_2\), ak zvolíme \(k_1 = k\). (Že v oboch opísaných prípadoch pre \(k_2 = k\) aj pre \(k_1 = k\) existuje príslušná kružnica \(k_1\), resp. \(k_2\), je vcelku zrejmé.)

Stačí teda vypočítať polomer \(r\) kružnice \(k\) do trojuholníka \(ABC\) vpísanej a polomer kružnice \(k_2\), ktorá sa dotýka kružnice \(k\) a strán \(AB\) a \(BC\) daného trojuholníka.

Polomer \(r\) vpísanej kružnice vypočítame napríklad zo vzorca \(2S_{ABC} = ro\), pričom \(S_{ABC}\) označuje obsah trojuholníka \(ABC\) a \(o\) jeho obvod. Obsah daného pravouhlého trojuholníka \(ABC\) s preponou \(AB\) je pri zvyčajnom označení dĺžok strán rovný \(\frac{1}{2}ab.\) Prepona v trojuholníku \(ABC\) má (v centimetroch) podľa Pytagorovej vety veľkosť \(c= \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). Maximálny polomer kružnice \(k_2\) je teda \[r =\frac{2S_{ABC}}{o}=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3\cdot 4}{3+4+5}= 1.\]

Pre výpočet polomeru \(r_2\) kružnice \(k_2\), ktorá sa dotýka kružnice \(k\) a strán \(AB\) a \(BC\), označme \(D\) a \(E\) body, v ktorých sa kružnice \(k\) a \(k_2\) dotýkajú strany \(AB\), a \(F\), \(G\) dotykové body kružnice k postupne so stranami \(BC\) a \(AC\) (obr. [fig:B65I3_2]). Keďže daný trojuholník je

[fig:B65I3_2]

pravouhlý, je \(S_1FCG\) štvorec so stranou dĺžky \(r = 1\), takže \(|BF| = |BD| = 2\) a podľa Pytagorovej vety \(|BS_1| =\sqrt{5}\). Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov \(BES_2\) a \(BDS_1\) potom vyplýva \[\frac{r_2}{|BS_2|}=\frac{r}{|BS_1|}, \ \ \ \ \text{čiže} \ \ \ \ \frac{r_2}{\sqrt{5}- r_2 - 1}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\] Po úprave tak pre hľadanú hodnotu neznámej \(r_2\) dostaneme lineárnu rovnicu \[r_2(\sqrt{5} + 1) =\sqrt{5}-1,\] ktorú ešte zjednodušíme vynásobením \(\sqrt{5}-1\). Zistíme tak, že najmenšia možná hodnota polomeru kružnice \(k_2\) je rovná \[r_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}.\]

a) Označme \(S\) stred a \(r\) polomer kružnice vpísanej trojuholníku \(ABC\) a \(L\), \(M\) body dotyku tejto kružnice postupne so stranami \(BC\), \(CA\) (obr. 3). Ak označíme \(|AK| = x\), \(|BK| = y\), tak \(|AP| = |AM| = x\), \(|KP| = x\sqrt{2}\), \(|BQ| = |BL| = y\), \(|KQ| = y\sqrt{2}\). Keďže oba uhly \(AKP\), \(BKQ\) majú veľkosť \(45^\circ\), je trojuholník \(PQK\) pravouhlý, takže jeho obsah je \[S_{PQK} =\frac{x\sqrt{2}y\sqrt{2}}{2}=xy.\]

Štvoruholník \(SLCM\) je štvorec so stranou dĺžky \(r\) a \(|AM| = x\), \(|BL| = y\). Obsah trojuholníka \(ABC\) je rovný súčtu obsahov trojuholníkov \(ABS\), \(BCS\) a \(CAS\), teda \[S_{ABC}=\frac{(x + y)r + (y + r)r + (x + r)r}{2}= (x + y + r)r.\] Obsah trojuholníka \(ABC\) je zároveň rovný \[S_{ABC}=\frac{|AC| \cdot |BC|}{2}=\frac{(x + r)(y + r)}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{(x + y + r)r}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{S_{ABC}}{2}.\] Odtiaľ dostávame \(S_{ABC} = xy\), čiže \(S_{ABC} = S_{PQK}\), čo sme mali dokázať.

b) V trojuholníku \(ABC\) sú dĺžky strán \(a = y + r\), \(b = x + r\), \(c = x + y\). Obvod trojuholníka \(ABC\) je \(a + b + |AB|\), obvod trojuholníka \(PQK\) je \(x\sqrt{2} + y\sqrt{2} + |PQ|\).

Zrejme platí \(|AB| \leq |PQ|\) (\(|AB|\) je vzdialenosťou rovnobežiek \(AP\), \(BQ\), (obr. 3). Rovnosť nastane jedine v prípade \(|AP| = |BQ|\), čiže \(x = y\). Ešte dokážeme, že \(a + b \leq x\sqrt{2} + y\sqrt{2}\), teda že \(a + b \leq c\sqrt{2}\). Posledná nerovnosť je ekvivalentná s nerovnosťou, ktorú dostaneme jej umocnením na druhú, pretože obe jej strany sú kladné. Dostaneme tak \(a^2 +b^2 +2ab \leq 2c^2\). Keďže v pravouhlom trojuholníku \(ABC\) platí \(a^2 + b^2 = c^2\), máme dokázať nerovnosť \(2ab \leq a^2 + b^2\), ktorá je však ekvivalentná s nerovnosťou \(0 \leq (a - b)^2\). Tá platí pre všetky reálne čísla \(a\), \(b\) a rovnosť v nej nastane jedine pre \(a = b\), t. j. \(x = y\).

Celkovo vidíme, že obvod trojuholníka \(ABC\) je menší alebo rovný obsahu trojuholníka \(PQK\) a rovnosť nastane práve vtedy, keď je pravouhlý trojuholník \(ABC\) rovnoramenný.